.ח Easy as Pi

אמר ליה רב אסי לרב אשי לעולם גברא באמתא יתיב ורבי יוחנן מקום גברי לא קחשיב כמה הוו להו תמני סרי בשיבסר נכי חומשא סגיא היינו דלא דק ולחומרא לא דק

A "mathy" guy like myself can't help but be curious to examine the precise math behind this גמרא. The results are quite fascinating.

Let's start with what the precise הלכה would be:

If we do, in fact, require a circle that encompasses a 4x4 square, the radius of that circle would be √(32) by the Pythagorean Theorem. That would make the circumference of that circle √(32)π which is approximately 17.7715 אמות circumference. 

Now, let's examine ר' יוחנן's statement according to רב אסי. The גמרא assumes based on its loose interpretation of π that if we made a circle of 24 men, the circle inside of that ring would be 18 אמות circumference. We could end right here and declare that the margin of לא דק is even more narrow than the גמרא suggested. But let's try to get a little more precise. A circle of 24 אמות circumference would have a diameter of 24/π. The men take up exactly one אמה so the inner circle would then have a radius of 24/π - 2. The circumference of that inner circle would then be (24/π -2) x π which comes out to 17.7168 !!! So ר' יוחנן's statement is off by only 0.0547 אמות !!! The only issue, of course is that it is לא דק לקולא but at that minuscule amount, that should be allowable. 

:ז Pi in the ... תורה

רש"י ד"ה באמתא יתיב. כל אחד מקומו אמה נמצא הקיפה כ"ד אמות וקיימא לן (עירובין דף יג:) כל עגול שיש בהקיפו ג' טפחים יש ברחבו טפח דכתיב (דה"ב ד) בים שעשה שלמה עשר באמה משפתו אל שפתו עגול סביב וקו שלשים באמה יסוב אותו סביב לעשר אמות רוחב שלשים אמה היקף אלמא הכא נמי בתריסר אמות היקף סגי דנהוי פותיא ארבעה:

Since רש"י references the ים של שלמה, it would seem appropriate to reference the גר"א's famous פשט on that.
Read more here.

:ב Cutting off the Angles

First off, מזל טוב to all who recently completed מסכת יומא.

At the very beginning of סוכה we have the familiar discussion surrounding the 20 אמה walls. A number of years ago there was an interesting discussion on two of my other blogs regarding the interpretation of ר' זירא's position that 20 אמה  walls are not a problem with a סוכה larger than 4x4 אמות.
Please see R' Ari Storch's post on AstroTorah and my follow up on AlPiCheshbon.

:ח A Pythagorean Question

אמר רב כהנא הואיל ושמעתתא דכהני היא אימא בה מילתא הא דאמרת מניח הקורה באלכסון לא אמרן אלא שאין באלכסונו יותר מעשר אבל יש באלכסונו יותר מעשר דברי הכל אינו מניח אלא כנגד הקצר

רש"י ד"ה שאין באלכסונו יותר מעשר. שהמבוי קצר לרחבו הרבה ואין ברוחבו ובארבע אמות הנמשכין להצטרף יותר מעשר

This line in the גמרא seemed fairly simple to me. However, I found the way רש"י explained it to be somewhat troublesome. If I'm understanding correctly, he is suggesting that the מבוי would need to be extremely narrow in order for the אלכסון to be less than 10 אמות. But the simple Pythagorean calculation suggests otherwise. By the Pythagorean Theorem, as illustrated below, a 10 אמה diagonal is achieved only with an approximately 9.2 אמה width, given the extra 4 אמות of wall. A מבוי anyways has to be less than 10 אמות wide. So what exactly does Rashi mean?